撹拌機マスターへの道 8

前回はモーターの動力測定をやりました。今回はスケールアップについて考察します。

まず、対象の流体がニュートン流体の場合から。
基本的に撹拌機が相似形であれば、

【乱流域】P = Np ・ ρ ・ n³ ・ d⁵
【層流域】P ＝ Np ・ Re ・ μ ・n² ・ d³

でスケールに関係なく動力が求められます。
問題は回転数と撹拌翼の径をどう考えるかです。

スケールアップ考え方として単位容積当たりの投入動力Ｐ／Ｖというのがあります。

ラボスケールの条件を

P₁／V₁＝Np ・ ρ ・ n₁³ ・ d₁⁵／V₁

実機スケールの条件を

P₂／V₂＝Np ・ ρ ・ n₂³ ・ d₂⁵／V₂

とすると単位容積当たりの投入動力が同じということはP₁／V₁＝P₂／V₂なので、

n₁³ ・ d₁⁵／V₁＝n₂³ ・ d₂⁵／V₂

となります。さらに見やすく変形すると、

（n₂／n₁）³＝（d₁／d₂）⁵・（V₂／V₁）

となります。
計算を楽にするため、容器は円筒形を想定します。
前提が相似形なので、容器のサイズは

V₁＝π・（αd₁）²／4・βd₁＝παβd₁³

αとβは容器の大きさを撹拌翼の径を基準に決めるための係数で、πも3.14なのでまとめて

V₁＝∝d₁³

となります。V₂も同様に

V₂＝∝d₂³

V₂／V₁＝（d₂／d₁）³

（n₂／n₁）³＝（d₁／d₂）⁵・（V₂／V₁）＝（d₁／d₂）⁵・（d₂／d₁）³＝（d₁／d₂）²

n₂／n₁＝（d₁／d₂）^2/3

n₂＝n₁（d₁／d₂）^2/3

ここまでくればかなり簡単になりました。

例えば、1,000倍の容量にスケールアップする場合を想定します。

V₂／V₁＝1,000＝（d₂／d₁）³＝10³

n₂＝n₁（d₁／d₂）^2/3＝n₁（0.1）^2/3＝0.215×n₁

となります。１Lで1000rpmのラボスケールから1,000Lへスケールアップした場合、単位容積当たりの動力を基準にすると、撹拌機と容器の形状がスケールに関係なく相似形で、ニュートン流体であれば回転数は215rpmとなります。当たり前ですが、撹拌所要動力も1,000倍になります。個人的にはあまり現実的なスケールアップではないと思います。スケールアップしているのに効率が上がらないのも感覚に合わないし、そもそも動力が大きくなり過ぎます。例えば、ラボスケールで0.1kWの動力だとしても1,000Lとするだけで100kWの動力が必要になり、タンクとモーターが同じくらいのサイズになってしまいます。

実際には、撹拌機の周速を合わせることでスケールアップを考えたり、循環回数を合わせたりして経済的な設計がされます。撹拌の対象が均相系であるなら、時間をかければ溶け合うので、小さな動力で時間をかけて撹拌するなどで、各社がノウハウをもって取り組んでいる内容となります。言い換えると、単純な手計算で対応できるのはここまでで、ここから先は実験やシミュレーションが必要になると思いまます。それでも、基本的な考え方が変わるわけではないので、動力－回転数－撹拌翼径の関係は崩さないように検討を進めることが重要です。関係が崩れることもありますが、崩れる理由を明確にしておかないとスケールアップに失敗する可能性が高まります（実験した範囲内だけで使える）。

今回はニュートン流体を対象としたスケールアップを考えました。次回は非ニュートン流体を考えます。